12445. Вокруг треугольника ABC
описана окружность \omega
, а I
— точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая CI
пересекает \omega
вторично в точке P
. Пусть окружность с диаметром IP
пересекает AI
, BI
и \omega
вторично в точках M
, N
и K
соответственно. Отрезки KN
и AB
пересекаются в точке B_{1}
, а отрезки KM
и AB
— в точке A_{1}
. Докажите, что \angle ACB=\angle A_{1}IB_{1}
.
Решение. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) PA=PI=PB
. Точка M
лежит на окружности с диаметром IP
, поэтому PM\perp AI
. Высота PM
равнобедренного треугольника API
является его медианой, значит, M
— середина отрезка AM
. Аналогично, N
— середина BI
.
Пусть Q
— середина дуги ACB
окружности \omega
. Докажем, что прямые QA
и QB
— касательные к окружности \Omega
с центром P
и радиусом PI
. Действительно, если углы при вершинах A
и B
треугольника ABC
равны \alpha
и \beta
соответственно, то
\angle AQB=\angle ACB=180^{\circ}-\alpha-\beta,~
\angle ABQ=\angle BAQ=90^{\circ}-\angle AQB=\frac{\alpha+\beta}{2},
а так как
\angle APB=180^{\circ}-\angle AQB=\alpha+\beta,
и при этом APB
— центральный угол окружности \Omega
, то дуга AIP
этой окружности равна \alpha+\beta
, т. е. угол ABQ
равен половине этой дуги. Следовательно (см. задачу 144), прямая QB
— касательная к окружности \Omega
. Аналогично для прямой QA
.
Пусть луч IK
пересекает окружность \Omega
в точке J
. Поскольку точка K
лежит на окружности с диаметром IP
, отрезок PK
перпендикулярен хорде IK
этой окружности, а значит, и хорде IJ
окружности \Omega
. Тогда K
— середина IJ
.
Пусть прямые KM
и AQ
пересекаются в точке L
. Поскольку K
и M
— середины отрезков IJ
и AI
, отрезок KM
— средняя линия треугольника AIG
, поэтому AM
, а значит, и KL
параллельны AJ
. Следовательно, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle IKL=\angle IJA=\angle IAL.
Из точек K
и A
, лежащих по одну сторону от прямой IL
, отрезок IL
виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник AKIL
вписанный. Тогда
\angle ILQ=\angle AKQ=\angle ABQ=\angle BAQ,
поэтому IL\parallel AB
.
Поскольку M
— середина диагонали AI
четырёхугольника ALIA_{1}
, треугольники IML
и AMA_{1}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, IL=AA_{1}
, и четырёхугольник ALIA_{1}
— параллелограмм. Тогда IA_{1}\parallel QA
. Аналогично, IB_{1}\parallel QB
. Следовательно,
\angle A_{1}IB_{1}=\angle AQB=\angle ACB.
Что и требовалось доказать.