12475. На отрезке AB
отмечена произвольная точка M
, отличная от A
и B
. С одной стороны от прямой AB
выбрана точка C
, а с другой — такие точки D
и E
, что треугольники ABC
, AMD
и MBE
— равносторонние. Обозначим через P
, Q
, R
точки пересечения медиан треугольников ABC
, AMD
и MBE
соответственно. Докажите, что:
а) треугольник PQR
равносторонний,
б) точка пересечения медиан треугольника PQR
лежит на отрезке AB
.
Решение. а) Обозначим за T
точку пересечения прямых AQ
и BR
. Четырёхугольник APBT
— ромб с углами 60^{\circ}
и 120^{\circ}
при вершинах A
и P
, треугольники APT
и BPT
равносторонние.
Заметим, что
AP=\frac{AB}{\sqrt{3}},~AQ=\frac{AM}{\sqrt{3}},~BR=\frac{BM}{\sqrt{3}},
поэтому
AQ+BR=\frac{AM}{\sqrt{3}}+\frac{BM}{\sqrt{3}}=\frac{AM+BM}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{\sqrt{3}}=AP.
Следовательно (см. задачу 1386), треугольник PQR
— равносторонний. Что и требовалось доказать.
б) Из точек Q
и T
, лежащих по одну сторону от прямой PR
, отрезок PR
виден под одним и тем же углом (равным 60^{\circ}
), значит, точки P
, Q
, T
, R
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Обозначим через S
точку пересечения медиан треугольника PQR
. Точка S
— также центр описанной окружности этого треугольника, а значит, и центр описанной окружности PTR
. Тогда точка S
лежит на серединном перпендикуляре AB
к хорде PT
. Отсюда следует доказываемое утверждение.