12495. На сторонах AB
и AC
равностороннего треугольника ABC
со стороной 10 взяты точки P
и Q
, причём отрезок PQ
касается вписанной в треугольник окружности и его длина равна 4. Найдите площадь треугольника APQ
.
Ответ. \frac{5}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника касается стороны AB
точке K
. Тогда AK=\frac{1}{2}AB=5
. С другой стороны, вписанная окружность треугольника ABC
— это вневписанная окружность треугольника APQ
, поэтому AK=p
— полупериметр треугольника APQ
(см. задачу 1750).
Пусть r
— радиус этой окружности. Тогда
r=\frac{AB}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}
(см. задачу 1963). Следовательно (см. задачу 392),
S_{\triangle APQ}=(p-PQ)r=(5-4)\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}.