12541. На прямой l
отмечены две различные точки A
и B
. Рассматриваются всевозможные пары окружностей, касающихся друг друга и прямой l
в точках A
и B
. Для каждой пары через M
обозначим середину отрезка внешней касательной к этим окружностям, не лежащей на l
. Найти геометрическое место точек M
.
Ответ. Окружность с центром в середине AB
и радиусом, равным AB
, исключая точки, лежащие на l
.
Решение. Пусть P
— точка касания окружностей, CD
— вторая общая внешняя касательная окружностей, причём точки C
и A
лежат на одной окружности. Тогда CD=AB
в силу осевой симметрии относительно линии центров, а общая внутренняя касательная, проведённая через точку P
, пересекает отрезки CD
и AB
в их серединах M
и L
соответственно, и ML=AB
(см. задачу 365а).
Следовательно, каждая точка M
удалена от середины L
данного отрезка AB
на одно и то же расстояние, равное AB
. Учитывая, что окружности могут располагаться с обеих сторон от прямой l
, получим, что каждая точка M
из условия задачи лежит на окружности с центром L
и радиусом, равным AB
.
Докажем, что каждая точка M
этой окружности, отличная от точек её пересечения с прямой l
, есть середина некоторого отрезка CD
общей внешней касательной к двум касающимся окружностям, удовлетворяющим условию задачи.
Пусть, как и раньше, L
— середина отрезка AB
, M
— произвольная точка рассматриваемой окружности, не лежащая на прямой l
. Построим серединный перпендикуляр к отрезку LM
и отразим прямую l
относительно него (см. рисунок). Впишем в получившийся угол с вершиной S
две окружности: одна из них — вписанная окружность равнобедренного треугольника MSL
, вторая — вневписанная окружность этого треугольника, касающаяся стороны ML
. Эти окружности касаются друг друга в середине отрезка ML
.
Кроме того, LM=AB
по построению, поэтому окружности коснутся прямой l
на расстоянии \frac{1}{2}LM=\frac{1}{2}AB
от L
, т. е. в точках A
и B
. Значит, это требуемая в условии пара окружностей. Следовательно, точка M
удовлетворяет условию задачи.