12634. Из точки P
, лежащей вне окружности с центром O
, проведены к окружности секущая PAB
и касательная PC
, причём A
, B
и C
— различные точки окружности, лежащие по одну сторону от прямой OP
, C
— точка касания. Точка Q
— проекция точки C
на прямую OP
. Докажите, что QC
— биссектриса угла AQB
.
Решение. Первый способ. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) PA\cdot PB=PC^{2}
, а так как CQ
— высота прямоугольного треугольника OCP
, проведённая из вершины прямого угла, то PQ\cdot PO=PC^{2}
(см. задачу 2728). Значит,
PA\cdot PB=PQ\cdot PO.
Следовательно, точки A
, B
, P
и Q
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Назовём её \omega
.
Пусть луч QC
пересекает окружность \omega
в точке G
. Отрезок OG
— диаметр этой окружности, так как \angle OGQ=90^{\circ}
. Поскольку OA=OB
(как радиусы исходной окружности), треугольник AOB
равнобедренный, поэтому вписанные в окружность \omega
углы OAB
и OBA
равны. Тогда O
— середина дуги AQB
этой окружности, а Q
— середина дополнительной дуги AGB
. Значит (см. задачу 430),
\angle AQC=\angle AQG=\angle BQG=\angle BQC.
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Отрезок CQ
— высота прямоугольного треугольника OCP
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OQ\cdot OP=OC^{2}=OA^{2}=OB^{2}
(см. задачу 2728), откуда
\frac{OQ}{OA}=\frac{OA}{OP},~\frac{OQ}{OB}=\frac{OB}{OP}.
Значит, треугольник OAQ
подобен треугольнику OPA
, а треугольник OBQ
— треугольнику OPB
(по двум сторонам и общему углу между ними). Тогда
\angle OAQ=\angle OPA,~\angle OBQ=\angle OPB,
а так как треугольник AOB
равнобедренный (OA=OB
), то \angle OAB=\angle OBA
, поэтому
\angle OAP+\angle OBP=180^{\circ}-\angle OAB+\angle OBA=180^{\circ}.
Значит,
\angle AQP+\angle BQP=(\angle AOP+\angle OAQ)+(\angle BOP+\angle OBQ)=
=(\angle AOP+\angle OPA)+(\angle BOP+\angle OPB)=
=(180^{\circ}-\angle OAP)+(180^{\circ}-\angle OBP)=
=360^{\circ}-(\angle OAP+\angle OBP)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ},
а так как
\angle OQB=180^{\circ}-\angle BQP=\angle AQP,
то
\angle AQC=90^{\circ}-\angle AQP=90^{\circ}-\angle OQB=\angle BQC.
Следовательно, QP
— биссектриса угла AQB
. Что и требовалось доказать.