12699. Квадрат ABCD
вписан в окружность \omega
. Точка P
лежит на меньшей дуге AB
этой окружности. Прямые CP
и BD
пересекаются в точке R
, а прямые DP
и AC
— в точке S
. Докажите, что треугольники ARB
и DSR
равновелики.
Решение. Пусть T
— точка пересечения PC
и AB
. Тогда, учитывая, что \angle BCP=\angle BDP
, а треугольник BSD
равнобедренный, получим
\angle BTC=90^{\circ}-\angle BCT=90^{\circ}-\angle BCP=
=90^{\circ}-\angle PDB=90^{\circ}-\angle SBD=\angle BSC,
Из точек T
и S
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом. Значит, точки B
, S
, T
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как \angle CBT=90^{\circ}
, то отрезок CT
— её диаметр. Следовательно, \angle TSC=90^{\circ}
, и поэтому TS\parallel BD
как прямые, перпендикулярные одной и то же прямой AC
.
Таким образом,
S_{\triangle DSR}=S_{\triangle DTR}=S_{\triangle DTB}-S_{\triangle TBR}=
=S_{\triangle CTB}-S_{\triangle TBR}=S_{\triangle CRB}=S_{\triangle ARB}.
Что и требовалось доказать.