12700. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
луч BD
— биссектриса угла ABC
. Описанная окружность треугольника ABC
пересекает стороны AD
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Прямая, проходящая через вершину D
параллельно AC
, пересекает прямые BC
и BA
в точках R
и S
соответственно. Докажите, что точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Поскольку
\angle SDP=\angle CAP=\angle RBP,
четырёхугольник BRDP
вписанный (рис. 1). Аналогично, четырёхугольник BSDQ
тоже вписанный. Пусть X
— вторая точка пересечения отрезка BD
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда
\angle AXB=\angle ACB=\angle DRB,
а так как \angle ABX=\angle DBR
, то треугольники ABX
и DBR
подобны по двум углам. Значит,
\angle RPB=\angle RDB=\angle XAB=\angle XPB,
и поэтому точки R
, X
и P
лежат на одной прямой. Аналогично, точки S
, X
и Q
лежат на одной прямой. Тогда (см. задачу 2627)
RX\cdot XP=DX\cdot XB=SX\cdot XQ.
Следовательно (см. задачу 114), точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Если AB=BC
, то точки R
и S
симметричны относительно прямой BD
. Аналогично, точки P
и Q
симметричны относительно прямой BD
. Значит, RSPQ
— равнобокая трапеция. Следовательно (см. задачу 5003), около неё можно описать окружность. Отсюда следует утверждение задачи.
Пусть AB\ne BC
. Обозначим через \omega
описанную окружность треугольника ABC
(рис. 2). Прямые AC
и SR
параллельны, поэтому при гомотетии с центром B
, переводящей точку A
а S
, точка C
переходит в R
, а окружность \omega
— в описанную окружность \omega_{1}
треугольника BSR
. Значит, окружности \omega
и \omega_{1}
касаются в точке B
.
Поскольку
\angle RDQ=\angle DCA=\angle DPQ,
описанная окружность \omega_{2}
треугольника PQD
касается прямой RS
в точке D
(см. задачу 144).
Пусть K
— точка пересечения прямой RS
с общей касательной касающихся окружностей \omega
и \omega_{1}
в точке B
. Тогда
\angle KBD=\angle KBR+\angle CBD=\angle DSB+\angle SBD=\angle KDB.
Значит, KD=KB
, поэтому равны степени точки K
относительно окружностей \omega
и \omega_{2}
(KB^{2}=KD^{2}
), и поэтому точка K
лежит на их радикальной оси, т. е. на прямой PQ
(см. задачу 6392). Таким образом, прямая PQ
проходит через точку K
. Тогда
KR\cdot KS=KB^{2}=KD^{2}=KP\cdot KQ.
Следовательно (см. задачу 114), точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.