12746. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
проведена биссектриса BL
. Точка D
симметрична точке A
относительно биссектрисы BL
. Обозначим через M
центр описанной окружности треугольника ADC
. Докажите, что прямые CM
, DL
и AB
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Рассмотрим точку M'
— середину меньшей дуги AC
. Она равноудалена от точек A
и C
и лежит на продолжении биссектрисы BL
. Тогда из симметрии M'A=M'D
(см. задачу 1743), значит, эта точка — центр описанной окружности треугольника ADC
, и поэтому совпадает с M
. Кроме того, \angle BMC=90^{\circ}
, так как BC
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
.
Рассмотрим симметрию относительно прямой BM
. Прямая CM
остаётся на месте, так как CM\perp BM
. Прямая DL
переходит в AL
, а прямая AB
— в прямую BC
. Прямые CM
, AL
и BC
пересекаются в одной точке C
. Значит, их прообразы также пересекались в одной точке. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть E
— точка, симметричная точке C
относительно прямой BL
. Из симметрии точка D
лежит на прямой BC
, E
— прямых AB
и DL
, а \angle BDE=\angle BAC=90^{\circ}
.
Пусть прямые CE
и BL
пересекаются в точке M'
. Тогда M'
— середина отрезка CE
, т. е. середина гипотенуз прямоугольных треугольников EAC
и EDC
. Тогда
M'E=M'A=M'D=M'C,
значит, M'
— центр описанной окружности треугольника ADC
, т. е. точка M'
совпадает с M
. Таким образом, прямые CM
, DL
и AB
пересекаются в точке E
.