1275. Докажите, что четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с точкой пересечения медиан треугольника, образованного тремя оставшимися вершинами, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, причём эта точка — середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон четырёхугольника.
Решение. Первый способ. Пусть M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, AD
четырёхугольника ABCD
, E
и F
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и BCD
соответственно, O
— точка пересечения отрезков AF
и DE
.
Тогда \frac{NE}{NA}=\frac{NF}{ND}=\frac{1}{3}
, значит, EF\parallel AD
. Треугольники AOD
и FOE
подобны, поэтому
\frac{AO}{OF}=\frac{DO}{OE}=\frac{AD}{EF}=\frac{1}{3}.
Аналогично для любой другой пары отрезков, соединяющих вершину четырёхугольника с точкой пересечения медиан треугольника, образованного тремя оставшимися вершинами. Таким образом, любые два таких отрезка точкой пересечения делятся в одном и том же отношении. Следовательно, они пересекаются в точке O
.
Докажем, что точка O
— общая середина отрезков NK
и NL
. Действительно, O
— точка пересечения диагоналей AF
и DE
трапеции AEFD
, а N
— точка пересечения продолжений боковых сторон AE
и DF
этой трапеции, значит, прямая NO
пересекает основание AD
трапеции в его середине L
(замечательное свойство трапеции, см. задачу 1513). Аналогично доказывается, что точка O
лежит на отрезке MK
. Отрезки NL
и KM
точкой пересечения делятся пополам, так как MNKL
параллелограмм. Следовательно, O
— середина каждого из этих отрезков. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, AD
четырёхугольника ABCD
, X
— произвольная точка плоскости, E
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{XE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC})
(см. задачу 4505). Пусть O
точка на отрезке DE
, причём \frac{OE}{OD}=\frac{1}{3}
. Тогда
\overrightarrow{XO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{XE}+\frac{1}{4}\overrightarrow{XD}=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC})\right)+\frac{1}{4}\overrightarrow{XD}=
=\frac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD}),
т. е. положение точки O
зависит только от вершин данного четырёхугольника. Значит, O
— точка, лежащая на каждом из четырёх рассматриваемых отрезков и делящая каждый из них в отношении 3:1
, считая от вершины четырёхугольника.
Осталось доказать, что O
— середина отрезка MK
. Предположим, что середина отрезка MK
— точка O_{1}
. Тогда (см. задачу 4500)
\overrightarrow{XO_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{XK})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD})\right)=
=\frac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD})=\overrightarrow{XO}.
Следовательно, точка O_{1}
совпадает с точкой O
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Соответствующее утверждение верно для любых четырёх точек пространства, не лежащих в одной плоскости: медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины (см. задачу 7110).