7110. Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины.
Указание. Докажите, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1
, считая от вершины.
Решение. Первый способ. Докажем, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1
, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну из медиан тетраэдра в отношении 3:1
, считая от вершины, проходят остальные три медианы.
Пусть M
и N
— точки пересечения медиан граней ABC
и ABD
тетраэдра ABCD
, K
— середина AB
. Плоскость, проходящая через точки D
, K
и C
, содержит точки M
и N
, причём стороны CK
и DK
треугольника DKC
делятся этими точками в одном и том же отношении:
CM:MK=DN:NK=2:1.
Из подобия треугольников KCD
и KMN
следует, что
CD:MN=KC:KM=3:1.
Пусть отрезки DM
и CN
пересекаются в точке O
. Из подобия треугольников DOC
и MON
следует, что
OD:OM=OC:ON=CD:MN=3:1,
что и требовалось доказать.
Второй способ. Поместим в вершины тетраэдра ABCD
одинаковые массы m
. Тогда центр масс точек A
, B
и C
— точка M
пересечения медиан грани ABC
(см. задачу 1207). Поместим в точку D_{1}
массу 3m
. Тогда центр масс точек A
, B
, C
и D
— точка O
, лежащая на отрезке DM
и делящая его в отношении DO:OM=3m:m=3:1
(см. задачи 6797 и 6798). Из единственности центра масс следует, что остальные медианы тетраэдра также проходят через точку O
и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины тетраэдра.
Третий способ. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда ALBKMCND
, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (ALBK
и MCDN
— противоположные грани, AM\parallel LC\parallel BN\parallel KD
. Центр O
этого параллелепипеда — середина диагонали AN
. Известно, что эта диагональ проходит через точку E
пересечения медиан треугольника BCD
и делится ею в отношении AL:LN=2:1
(см. задачу 7212). Тогда AO:OL=3:1
. Таким образом, медиана AE
тетраэдра ABCD
проходит через точку O
и делится ею в отношении 3:1
, считая от вершины A
. Аналогично для трёх остальных медиан.
Примечание. Заметим, что для любого четырёхугольника ABCD
на плоскости отрезки, каждый из которых соединяет вершину с точкой пересечения медиан треугольника с вершинами в трёх остальных вершинах, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
. Для доказательство этого утверждения см. приведённый выше второй способ доказательства утверждения для тетраэдра.