12753. Высоты, проведённые из вершин A
, B
и C
остроугольного треугольника ABC
, пересекают стороны треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а также пересекают описанную окружность в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно. Прямая A_{1}C_{1}
пересекает описанные окружности треугольников AC_{1}C_{2}
и CA_{1}A_{2}
в точках P
и Q
, отличных от A_{1}
и C_{1}
. Докажите, что описанная окружность треугольника PQB_{1}
касается прямой AC
.
Решение. Известно, что точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно прямой, содержащей его сторону, лежит на описанной окружности треугольника (см. задачу 4785). Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда треугольники C_{2}AC_{1}
и HAC_{1}
симметричны относительно прямой AB
. Значит, и описанные окружности треугольников C_{2}AC_{1}
и HAC_{1}
симметричны относительно этой прямой.
На описанной окружности треугольника HAC_{1}
лежит точка B_{1}
(так как \angle AC_{1}H=\angle AB_{1}H=90^{\circ}
). Тогда точка X
, симметричная точке B_{1}
относительно прямой AB
, лежит на описанной окружности треугольника C_{2}AC_{1}
.
Из симметрии \angle XC_{1}A=\angle B_{1}C_{1}A
, а кроме того,
\angle AC_{1}B_{1}=\angle ACB=\angle BC_{1}A_{1}
(см. задачу 141). Отсюда \angle XC_{1}A=\angle BC_{1}A_{1}
. Значит, точка X
лежит на прямой A_{1}C_{1}
. Таким образом, точка X
совпадает с P
.
Из симметрии точек P
и B_{1}
относительно прямой AB
следует, что PB_{1}\perp AB
и PB_{1}\parallel CC_{1}
. Аналогично, QB_{1}\parallel AA_{1}
.
Для завершения решения достаточно установить равенство \angle PB_{1}A=\angle PQB_{1}
(см. задачу 144). Из параллельности получаем
\angle PB_{1}A=\angle C_{1}CA,~\angle PQB_{1}=\angle C_{1}A_{1}A,
а \angle C_{1}CA=\angle C_{1}A_{1}A
из вписанности четырёхугольника AC_{1}A_{1}C
. Отсюда следует утверждение задачи.