12781. ABC
— остроугольный треугольник. На стороне AB
как на диаметре, построили окружность, которая пересекает высоту CC'
и её продолжение в точках M
и N
. Окружность с диаметром AC
, пересекает высоту BB'
и её продолжение в точках P
и Q
. Докажите, что точки M
, N
, P
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть AA'
— третья высота треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника ABC
. Тогда обе указанные в условии окружности проходят через точку A'
, так как \angle AA'B=90^{\circ}
и \angle AA'C=90^{\circ}
(см. задачу 1689).
Последовательно применив теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд к этим окружностям (см. задачу 2627), получим
HM\cdot HN=HA\cdot HA'=HP\cdot HQ.
Следовательно (см. задачу 114), точки M
, N
, P
и Q
лежат на одной окружности