12816. Внутри квадрата ABCD
расположен квадрат KLMN
(в каждом квадрате вершины указаны в одном и том же порядке — по часовой стрелке). Докажите, что середины отрезков AK
, BL
, CM
и DN
также являются вершинами квадрата.
Решение. Решение. Пусть E
, F
, G
и H
— середины отрезков AK
, BL
, CM
и DN
соответственно. Докажем, что \overrightarrow{EH}
получается из \overrightarrow{EF}
поворотом на 90^{\circ}
по часовой стрелке.
Действительно, из четырёхугольника ABLK
получаем
\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{KL})
(см. задачу 4504). Аналогично, из четырёхугольника ADNK
—
\overrightarrow{EH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KN}).
При повороте на 90^{\circ}
по часовой стрелке стрелке образом вектора \overrightarrow{AB}
является вектор \overrightarrow{AD}
, а образом вектора \overrightarrow{KL}
— вектор \overrightarrow{KN}
, поэтому вектор \overrightarrow{EH}
— образ вектора \overrightarrow{EF}
. Следовательно, \overrightarrow{EH}\perp\overrightarrow{EF}
и |\overrightarrow{EH}|=|\overrightarrow{EF}|
. Аналогично, \overrightarrow{EG}\perp\overrightarrow{FE}
и |\overrightarrow{FG}|=|\overrightarrow{FE}|
. Таким образом, EFGH
— квадрат. Что и требовалось доказать.