12864. Пусть r
— радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a
и b
, а m_{a}
и m_{b}
соответственно — медианы, проведённые к эти катетам. Докажите, что m_{a}^{2}+m_{b}^{2}\gt29r^{2}
.
Решение. Пусть c
— гипотенуза данного треугольника, m_{c}
— проведённая к ней медиана. Тогда m_{c}=\frac{1}{2}c
(см. задачу 1109), поэтому (см. задачу 4047)
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{3}{4}\cdot2c^{2}=\frac{3}{2}c^{2},
откуда
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=\frac{3}{2}c^{2}-\frac{1}{4}c^{2}=\frac{5}{4}c^{2}.
Кроме того, c^{2}\geqslant4(1+\sqrt{2})^{2}r^{2}
(см. задачу 12863). Следовательно,
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=\frac{5}{4}c^{2}\geqslant\frac{5}{4}\cdot4(1+\sqrt{2})^{2}r^{2}=5(3+2\sqrt{2})r^{2}\gt5\left(3+2\cdot\frac{7}{5}\right)r^{2}=29r^{2}
(так как \sqrt{2}\gt1{,}4=\frac{7}{5}
). Что и требовалось доказать.