12933. В окружность вписаны два правильных треугольника ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Отрезки BC
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке A_{2}
, отрезки AC
и A_{1}C_{1}
— в точке B_{2}
, отрезки AB
и A_{1}B_{1}
— в точке C_{2}
. Докажите, что треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
тоже правильный.
Решение. Рассмотрим поворот на 120^{\circ}
вокруг центра окружности, при котором точка A
переходит в B
, B
— в C
, C
— в A
, A_{1}
— B_{1}
, B_{1}
— в C_{1}
, C_{1}
— в A_{1}
. При этом повороте прямая BC
переходит в прямую CA
, а прямая B_{1}C_{1}
— в прямую C_{1}A_{1}
, поэтому точка пересечения A_{2}
прямых BC
и B_{1}C_{1}
переходит в точку пересечения B_{2}
прямых CA
и C_{1}A_{1}
. Аналогично, точка B_{2}
переходит в C_{2}
, а точка C_{2}
— в точку A_{2}
. Следовательно, A_{2}B_{2}C_{2}
— правильный треугольник (см. задачу 6001).