12967. Даны окружность с центром O
и точка A
внутри неё. Постройте на окружности точку M
, для которой угол AMO
был бы наибольшим.
Решение. Через точку A
проведём хорду MN
, перпендикулярную OA
. Докажем, угол AMO
(или равный ему угол ANO
) наибольший.
Действительно, если X
— произвольная точка окружности, отличная от M
и N
, а XY
— хорда, проведённая через точку A
, то XY\gt MN
(см. задачу 470). Проведём диаметры MK
и XZ
. Из теоремы синусов получаем, что острый угол XZY
прямоугольного треугольника XYZ
больше острого угла MKN
прямоугольного треугольника MKN
. Тогда острый угол YXZ
меньше острого угла NMK
. Значит,
\angle AXO=\angle YXZ\lt\angle NMK=\angle AMO.
Что и требовалось доказать.