12989. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABC=\angle ACD
и \angle ACB=\angle ADC
. Точка O
, отличная от A
, — центр описанной окружности треугольника BCD
. Докажите, что треугольник OAC
прямоугольный.
Решение. Обозначим \angle ABC=\angle ACD=\theta
и \angle ACB=\angle ADC=\varphi
. Тогда
\angle DAC=\angle CAB=180^{\circ}-(\theta+\varphi),
поэтому AC
— биссектриса угла BAD
, а так как сумма углов четырёхугольника ABCD
равна 360^{\circ}
, то
\angle DAB=360^{\circ}-2(\theta+\varphi)=2(180^{\circ}-\angle BCD)=2(\angle CBD+\angle CDB)=
=2\cdot\frac{1}{2}\smile BCD=\smile BCD=\angle BOD.
Значит, точки A
, O
, B
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Обозначим её \Omega
.
Пусть прямая AC
вторично пересекает окружность \Omega
в точке A'
. Поскольку AA'
биссектриса вписанного в эту окружность угла BAD
, то A'B=A'D
, а так как O
середина дуги BAD
, то OB=OD
. Значит, прямая OA'
— серединный перпендикуляр к хорде BD
окружности \Omega
. Тогда отрезок OA'
— диаметр этой окружности. Следовательно,
\angle OAC=\angle OAA'=90^{\circ},
т. е. треугольник OAC
прямоугольный. Что и требовалось доказать.