12991. Центр окружности расположен на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
. Окружность касается боковой стороны AB
в точке L
, BL=b
. Боковая сторона равна a
. Некоторая касательная к окружности пересекает лучи AB
и AC
в точках K
и M
, причём треугольник AKM
содержит окружность. Найдите наименьшее значение периметров треугольников AKM
, получающихся при изменении касательной KM
.
Ответ. \sqrt{a}+\sqrt{b}
.
Решение. Рассмотрим вневписанную окружность треугольника AKM
, касающуюся стороны KM
и продолжений сторон AB
и AC
. Если D
и E
— точки касания этой окружности с лучами AB
и AC
соответственно, то AD=AE=p
, где p
— полупериметр треугольника AKM
(см. задачу 1750). Наименьшими эти отрезки будут в случае, когда рассматриваемая окружность коснётся окружности из условия задачи.
Рассмотрим эту ситуацию. Обозначим \angle BAC=2\alpha
, O
— центр данной в условии окружности, r
— её радиус, Q
— центр вневписанной окружности, R
— её радиус. Тогда
\angle BOL=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha,~r=OL=BL\ctg\alpha=b\ctg\alpha,
R=DQ=AD\tg\alpha=p\tg\alpha,~DQ=LD=AD-AL=p-a+b.
Поскольку
DL=2\sqrt{rR}=2\sqrt{b\ctg\alpha\cdot p\tg\alpha}=2\sqrt{bp}
(см. задачу 365), то
p-a+b=2\sqrt{bp},~\mbox{или}~(\sqrt{p})^{2}-2\sqrt{b}\cdot\sqrt{p}-a+b=0,
откуда \sqrt{p}=\sqrt{b}+\sqrt{a}
. Следовательно, p=(\sqrt{b}+\sqrt{a})^{2}
.