13110. Найдите радиус круга, в сегмент которого, соответствующего хорде, равной 6, вписан квадрат со стороной 2.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. Пусть R
— радиус круга с центром O
, AB=6
— хорда, KLMN
— квадрат, вершины K
и L
лежат на хорде AB
, а вершины M
и N
— на дуге сегмента.
Пусть перпендикуляр OH
к стороне MN
квадрата пересекает хорду AB
в точке P
. Поскольку AB\parallel MN
, отрезок OP
— перпендикуляр к AB
. Значит, P
— середина AB
(см. задачу 1676). Из прямоугольного треугольника APO
получаем
OP=\sqrt{OA^{2}-AP^{2}}=\sqrt{R^{2}-9}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHM
, в котором
OM=R,~MH=\frac{1}{2}MN=1,
OH=OP+PH=OP+LM=\sqrt{R^{2}-9}+2.
По теореме Пифагора OM^{2}=OH^{2}+MH^{2}
, или
R^{2}=(\sqrt{R^{2}-9}+2)^{2}+1~\Rightarrow~R^{2}=R^{2}-9+4\sqrt{R^{2}-9}+4+1~\Rightarrow
~\Rightarrow~4\sqrt{R^{2}-9}=4~\Rightarrow~\sqrt{R^{2}-9}=1~\Rightarrow~R^{2}=10.
Следовательно, R=\sqrt{10}
.