13149. В сегмент окружности, центральный угол которого равен \alpha
, вписан равносторонний треугольник, одна вершина которого совпадает с серединой хорды сегмента, а две другие лежат на его дуге. Высота треугольника равна h
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{h\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть K
— середина хорды AB
данного сегмента окружности с центром O
, вершины L
и M
равностороннего треугольника KLM
с высотой KH=h
лежат на меньшей дуге окружности, а \angle AOB=\alpha
.
Обозначим через R
радиус окружности. Поскольку H
и K
— середины хорд LM
и AB
соответственно, точки O
, K
и H
лежат на одной прямой (см. задачу 1677), причём точка K
между O
и H
.
Из прямоугольных треугольников OKH
и OLH
получаем
OK=OA\cos\angle AOK=R\cos\frac{\alpha}{2},
R^{2}=OL^{2}=LH^{2}+OH^{2}=LH^{2}+(OK+KH)^{2}=\left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)+\left(R\cos\frac{\alpha}{2}+h\right)^{2}.
Значит,
R^{2}=\frac{h^{2}}{3}+R^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+2Rh\cos\frac{\alpha}{2}+h^{2},
или
R^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2Rh\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{4}{3}h^{2}=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный (а значит, больший) корень этого уравнения, т. е.
R=\frac{h\cos\frac{\alpha}{2}+\sqrt{h^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{4}{3}h^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{h\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Если точки L
и M
лежат на большей дуге AB
окружности, аналогично получим тот же результат.