13255. Дан треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. Докажите, что на его описанной окружности \Omega
найдётся такая точка D
, что для любых точек M
и N
, лежащих вне окружности \Omega
на лучах AB
и AC
соответственно и удовлетворяющих условию BM=CN
, описанная окружность треугольника AMN
проходит через точку D
.
Решение. Докажем, что условию задачи удовлетворяет точка D
пересечения окружности \Omega
с серединным перпендикуляром к стороне BC
, лежащая по ту же сторону от прямой BC
, что и точка A
. Ясно, что эта точка не зависит от точек M
и N
.
Поскольку BM=CN
, DN=DC
и
\angle DBM=180^{\circ}-\angle DBA=180^{\circ}-\angle DCA=\angle DCN,
то треугольники DBM
и DCN
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \angle DMA=\angle DNA
, значит, точка D
лежит на описанной окружности треугольника AMN
(см. задачу 12). Отсюда следует утверждение задачи.