13279. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, HD
— биссектриса треугольника BHC
, E
и F
— точки, симметричные точке D
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника AEF
проходит через середину дуги BAC
описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Достаточно доказать, что середина G
дуги BAC
описанной окружности \Omega
треугольника ABC
лежит на описанной окружности треугольника AEF
, т. е. что точки E
, A
, G
и F
лежат на одной окружности.
Пусть луч AH
пересекает окружность \Omega
в точке K
. Тогда K
— точка, симметричная ортоцентру H
относительно прямой BC
(см. задачу 4785), поэтому KD
— биссектриса треугольника BKC
, симметричного треугольнику BHC
. Значит, луч KD
проходит через середину G
дуги BAC
окружности \Omega
(см. задачу 430).
Из симметрии относительно прямой AC
получаем, что
\angle DFC=\angle FDC=90^{\circ}-\angle DCA=\angle KAC=\angle KGC=\angle DGC.
Значит, четырёхугольник GFCD
вписанный (см. задачу 12). Аналогично, четырёхугольник GEBD
тоже вписанный.
Таким образом,
\angle EGF=\angle EGD+\angle FGD=(180^{\circ}-\angle DBE)+(180^{\circ}-\angle DCF)=
=360^{\circ}-2\angle ABC-2\angle ACB=360^{\circ}-2(\angle ABC+\angle ACB)=
=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle BAC)=2\angle BAC=2(\angle BAD+\angle DAC)=
=2\angle BAD+2\angle DAC=\angle EAD+\angle FAD=\angle EAF.
Значит, четырёхугольник EAGF
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.