13297. В окружность \Omega
вписан шестиугольник AECDBF
. Известно, что точка D
делит дугу BC
пополам, а треугольники ABC
и DEF
имеют общую вписанную окружность. Прямая BC
пересекает отрезки DF
и DE
в точках X
и Y
, а прямая EF
пересекает отрезки AB
и AC
в точках Z
и T
соответственно. Докажите, что точки X
, Y
, T
, Z
лежат на одной окружности.
Решение. Отметим точку I
— центр общей вписанной окружности \omega
треугольников ABC
и DEF
. Поскольку D
— середина дуги BC
, точки A
, I
, D
лежат на одной прямой. Окружность \omega
вписана в угол FDE
, поэтому DI
— биссектриса угла FDE
, а точка A
— середина дуги FE
. Заметим, что четырёхугольник FEYX
вписанный. Это следует из равенства
\angle FED=\frac{1}{2}(\smile FB+\smile BD)=\frac{1}{2}(\smile FB+\smile CD)=\angle FXB
(см. задачу 26). Аналогично, четырёхугольник BCTZ
вписанный.
Если BC\parallel EF
, то конструкция симметрична относительно прямой AD
, и утверждение задачи очевидно. Иначе отметим точку S
пересечения прямых FE
и BC
. Приравнивая произведения отрезков секущих для окружности \Omega
и описанных окружностей четырёхугольников BCTZ
и FEYX
(т. е. степени точки S
относительно этих трёх окружностей), получим (см. задачу 2636)
SX\cdot SY=SF\cdot SE=SB\cdot SC=SZ\cdot ST.
Доказанное равенство SX\cdot SY=SZ\cdot ST
означает, что X
, Y
, Z
, T
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Что и требовалось доказать.