13320. Даны две концентрические окружности \Omega
и \omega
. Хорда AD
окружности \Omega
касается \omega
. Внутри меньшего сегмента AD
круга с границей \Omega
взята произвольная точка P
. Касательные из точки P
к окружности \omega
пересекают большую дугу AD
окружности \Omega
в точках B
и C
. Отрезки BD
и AC
пересекаются в точке Q
. Докажите, что отрезок PQ
делит отрезок AD
на две равные части.
Решение. Пусть O
— центр окружностей, прямая AD
касается окружности \omega
в точке Z
, а прямые PB
и PC
касаются \omega
в точках X
и Y
и пересекают хорду AD
в точках K
и L
соответственно. Поскольку OZ\perp AD
, точка Z
— середина AD
.
При симметрии относительно биссектрисы PO
лучи PX
и PY
переходят друг в друга, а так как окружность \Omega
симметрична относительно PO
(см. задачу 1677), то точки B
и C
симметричны друг другу. Значит, XY\parallel BC
. Аналогично, рассматривая симметрии относительно прямых KO
и LO
, получим, что XZ\parallel BD
и ZY\parallel AC
.
Рассмотрим гомотетию с центром P
, переводящую отрезок BC
в отрезок XY
. Она переводит точку пересечения Q
прямых BD
и AC
в точку пересечения соответственно параллельных им прямых XZ
и YZ
, т. е. в точку Z
. Значит, середина Z
отрезка AD
лежит на прямой PQ
. Отсюда следует утверждение задачи.