13507. Точки D
и E
лежат на стороне BC
треугольника ABC
. Прямая, проведённая через точку D
параллельно AC
, пересекает сторону AB
в точке F
, а прямая, проведённая через точку E
параллельно AB
, пересекает сторону AC
в точке G
. Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой FG
с описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что точки D
, E
, P
, Q
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть прямые BC
и PQ
пересекаются в точке M
. При гомотетии с центром M
и коэффициентом \frac{ME}{MB}
точка F
переходит в G
, а точка D
— в C
, поэтому
\frac{ME}{MB}=\frac{MG}{MF}=\frac{MC}{MD}~\Rightarrow~ME\cdot MD=MC\cdot MB.
С другой стороны, MC\cdot MB=MQ\cdot MP
(см. задачу 2636). Значит, ME\cdot MD=MQ\cdot MP
, поэтому точки D
, E
, Q
и P
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Если прямые BC
и PQ
параллельны, то DEQP
— равнобедренная трапеция, а значит, около неё можно описать окружность, т. е. и в этом случае точки D
, E
, P
, Q
лежат на одной окружности.