13539. Прямые, проходящие через точку A
, касаются окружности \Gamma
в точках B
и C
. На продолжении отрезка AB
за точку B
отмечена точка D
. Описанная окружность треугольника ACD
вторично пересекает окружность \Gamma
в точке P
. Точка Q
— проекция точки B
на прямую CD
. Докажите, что \angle DPQ=2\angle ADC
.
Решение. Пусть E
— вторая точка пересечения отрезка CD
с окружностью \Gamma
. Тогда
\angle APD=\angle ACD=\angle CPE
(по теореме об угле между касательной и хордой), поэтому
\angle EPD=\angle CPA=\angle CDA.
Это означает, что прямая AD
касается в точке D
описанной окружности треугольника DEP
(см. задачу 144).
Пусть прямые PE
и AD
пересекаются в точке M
. Тогда по теореме о касательной и секущей
DM^{2}=ME\cdot MP=MB^{2},
Следовательно, DM=BM
, т. е. QM
— медиана прямоугольного треугольника BQD
, проведённая из вершины прямого угла. Тогда (см. задачу 1109)
QM=BM=DM~\mbox{и}~\angle DPM=\angle DPE=\angle EDM=\angle QDM=\angle DQM.
Значит, точки D
, M
, Q
и P
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Тогда
\angle DPQ=\angle DPE+\angle MPQ=\angle ADC+\angle ADC=2\angle ADC.
Что и требовалось доказать.