13662. Пусть S_{A}
— окружность, касающаяся сторон AB
и AC
, а также касающаяся внутренним образом описанной окружности треугольника ABC
(полувписанная окружность треугольника). Аналогично определим окружности S_{B}
и S_{C}
. Найдите углы треугольника ABC
, если радиусы вписанной окружности треугольника ABC
и радиусы окружностей S_{A}
, S_{B}
и S_{C}
образуют арифметическую прогрессию.
Ответ. 2\arcctg(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})
, 2\arcctg\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}
, 2\arcctg\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
и углами \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
и \angle C=\gamma
. Пусть r
, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы его вписанной окружности и окружностей S_{A}
, S_{B}
и S_{C}
соответственно. Тогда
r_{a}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=r\left(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}\right),~r_{b}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\beta}{2}}=r\left(1+\tg^{2}\frac{\beta}{2}\right),~
r_{c}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\gamma}{2}}=r\left(1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}\right).
(см. задачу 11076).
Без ограничения общности предположим, что
r\leqslant r_{a}\leqslant r_{b}\leqslant r_{c}.
Тогда
r_{a}=r+d,~r_{b}=r+2d,~r_{c}=r+3d,
где d\geqslant0
— разность арифметической прогрессии. Значит,
d=r\tg^{2}\frac{\alpha}{2},~2d=r\tg^{2}\frac{\beta}{2},~3d=r\tg^{2}\frac{\gamma}{2}.
Отсюда
\tg\frac{\beta}{2}=\sqrt{2}\tg\frac{\alpha}{2},~\tg\frac{\gamma}{2}=\sqrt{3}\tg\frac{\alpha}{2}.
Пусть вписанная окружность касается сторон BC
, AC
и AB
треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Обозначим
CA_{1}=CB_{1}=x,~BA_{1}=BC_{1}=y,~AB_{1}=AC_{1}=z.
Тогда
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{z},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{r}{y},~\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{x},
поэтому
a:b:c=(x+y):(x+z):(y+z)=(\sqrt{2}+\sqrt{3}):(\sqrt{2}+\sqrt{6}):(\sqrt{3}+\sqrt{6}).
Кроме того, из задачи 11314 следует, что
\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\cdot\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\cdot\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Значит,
\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\sqrt{2}\tg\frac{\alpha}{2}+\sqrt{2}\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\sqrt{3}\tg\frac{\alpha}{2}+\sqrt{3}\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\tg\frac{\alpha}{2}=1,
откуда
\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}.
Следовательно,
\alpha=2\arcctg(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}),~\beta=2\arcctg\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}},~
\gamma=2\arcctg\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.