13707. Биссектриса угла BAD
параллелограмма ABCD
пересекает сторону BC
в точке M
, а продолжение стороны CD
— в точке N
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника MCN
. Докажите, что точки B
, O
, C
и D
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку AD\parallel BC
и AB\parallel DC
, то
\angle CMN=\angle DAM=\angle BAN=\angle CNM,
поэтому треугольник CMN
равнобедренный, CM=CN
, а так как O
— центр описанной окружности треугольника MCN
, то OM=ON=OC
. Значит, равнобедренные треугольники OCM
и OCN
равны. Тогда
\angle OMC=\angle ONC=\angle OCN.
Следовательно, \angle OMB=\angle OCD
.
Поскольку
\angle BMA=\angle DAM=\angle BAM,
то
BM=BA=CD.
Таким образом, треугольники OMB
и OCD
равны по двум сторонам и углу между ними, значит,
\angle OBC=\angle OBM=\angle ODC.
Из точек B
и D
, лежащих по одну сторону от прямой OC
, отрезок OC
виден под одним углом. Следовательно, точки B
, O
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Что и требовалось доказать.