13717. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Точка P
лежит на продолжении стороны AD
за точку A
, причём \angle APB=\angle BAC
. Точка Q
лежит на продолжении стороны AD
за точку D
, причём \angle DQC=\angle BDC
. Известно также, что AP=DQ
. Определите вид четырёхугольника ABCD
.
Ответ. Четырёхугольник ABCD
либо вписанный, либо AB\parallel CD
.
Решение. Обозначим \angle APB=\angle BAC=\alpha
, \angle DQC=\angle BDC=\beta
, а так как
\angle CAD=180^{\circ}-\angle PAC=180^{\circ}-\angle PAB-\angle BAC=180^{\circ}-\angle PAB-\alpha=\angle ABP
и аналогично, \angle BDC=\angle DQC
, то обозначим \angle CAD=\angle ABP=\gamma
и \angle BDC=\angle DQC=\delta
.
По теореме синусов из треугольников APB
и DQC
получаем
\frac{AP}{\sin\gamma}=\frac{AB}{\sin\alpha},~\frac{DQ}{\sin\delta}=\frac{CD}{\sin\beta}.~
По теореме синусов из треугольников BAD
и CAD
получаем
\frac{AB}{\sin\delta}=\frac{AD}{\sin(\gamma+\delta+\alpha)},~\frac{CD}{\sin\gamma}=\frac{AD}{\sin(\gamma+\delta+\beta)},
а так как AP=DQ
, то после деления получаем
\frac{AB}{CD}=\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},~\frac{AB}{CD}=\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin(\gamma+\delta+\beta)}{\sin(\gamma+\delta+\alpha)}.
Тогда
\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin(\gamma+\delta+\beta)}{\sin(\gamma+\delta+\alpha)},
откуда
\sin\alpha\sin(\gamma+\delta+\alpha)=\sin\beta\sin(\gamma+\delta+\beta)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}(\cos(\delta+\gamma)-\cos(2\alpha+\delta+\gamma))=\frac{1}{2}(\cos(\delta+\gamma)-\cos(2\beta+\delta+\gamma))~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\cos(2\alpha+\delta+\gamma)=\cos(2\beta+\delta+\gamma).
Следовательно, либо
2\alpha+\delta+\gamma=2\beta+\delta+\gamma,
т. е. \alpha=\beta
, и четырёхугольник ABCD
вписанный (см. задачу 12), либо
2\alpha+\delta+\gamma=360^{\circ}-(2\beta+\delta+\gamma),
т. е.
\alpha+\beta+\delta+\gamma=(\alpha+\beta)+(\delta+\gamma)=\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},
и тогда AB\parallel CD
.