13731. Точка O
— центр окружности \Gamma
, описанной около треугольника ABC
. Пусть сторона AB
фиксирована, а точка C
перемещается по окружности \Gamma
, оставаясь по одну сторону от прямой AB
. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, противоположные вершинам A
, B
и C
соответственно. Точка Q
— центр описанной окружности треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
. Найдите геометрическое место точек Q
.
Ответ. Дуга окружности,
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда I
— ортоцентр треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769), а так как окружность \Gamma
проходит через основания высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, то \Gamma
— окружность девяти точек этого треугольника, а её центр O
— середина отрезка IQ
(см. задачу 174).
Поскольку I
и Q
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, то прямая IQ
— прямая Эйлера этого треугольника (см. задачу 5044).
Точка C
перемещается по дуге AB
окружности \Gamma
, а так как \angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB
(см. задачу 4770) фиксирован, то точка I
перемещается по дуге AB
окружности \Gamma'
с центром в середине не содержащей точки C
дуги AB
окружности \Gamma
(см. задачу 788).
Поскольку точка O
фиксирована, а точка I
перемещается по окружности \Gamma'
, то точка Q
, симметрична точке I
относительно O
, перемещается по окружности \Gamma ''
, симметричной \Gamma'
относительно точки O
. Следовательно, искомое ГМТ — дуга окружности \Gamma ''
, с концами в точках, окружности \Gamma
, диаметрально противоположных точкам A
и B
.