13747. Вписанная окружность касается сторон BC
, AC
и AB
треугольника ABC
в точках D
, E
и F
соответственно. Докажите, что
EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leqslant\frac{p^{2}}{3},
где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда r
— радиус описанной окружности треугольника DEF
, поэтому
EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leqslant9r^{2}
(см. задачу 3968). В то же время p^{2}\geqslant27r^{2}
(см. примечание 3 к задаче 11297). Следовательно,
EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leqslant9r^{2}\leqslant9\cdot\frac{r^{2}}{27}=\frac{p^{2}}{3}.
Что и требовалось доказать.