13759. Радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
, а AD
, BE
и CF
— высоты треугольника. Прямая, проведённая через точку P
, расположенную внутри треугольника, параллельно EF
, пересекает прямую AC
в точке E_{1}
, а прямую AB
— в точке F_{1}
. Прямая, проведённая через точку P
параллельно FD
, пересекает прямую AB
в точке F_{2}
, а прямую BC
— в точке D_{2}
. Прямая, проведённая через точку P
параллельно DE
, пересекает прямую BC
в точке D_{3}
, а прямую AC
— в точке E_{3}
. Докажите, что
E_{1}F_{1}\ctg\angle A+E_{2}D_{2}\ctg\angle B+D_{3}E_{3}\ctg\angle C=2R.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда
c=AB=AN+NB=CF\ctg\alpha+CF\ctg\beta=CF(\ctg\alpha+\ctg\beta),
откуда
\frac{c}{CF}=\ctg\alpha+\ctg\beta.
Аналогично,
\frac{b}{BE}=\ctg\alpha+\ctg\gamma,~\frac{a}{AD}=\ctg\beta+\ctg\gamma.
Заметим, что
\angle PF_{1}F_{2}=\angle EFA=\angle ACB=\gamma=\angle DFB=\angle PF_{2}F_{1}
(см. задачу 141). Значит, треугольник F_{1}PF_{2}
равнобедренный, PF_{1}=PF_{2}
. Аналогично, PD_{2}=PD_{3}
и PE_{3}=PE_{1}
.
Следовательно,
E_{1}F_{1}\ctg\alpha+E_{2}D_{2}\ctg\beta+D_{3}E_{3}\ctg\gamma=
=(PF_{1}+PE_{1})\ctg\alpha+(PF_{2}+PD_{2})\ctg\beta+(PE_{3}+PD_{3})\ctg\gamma=
=(PF_{1}+PE_{3})\ctg\alpha+(PF_{1}+PD_{2})\ctg\beta+(PE_{3}+PD_{2})\ctg\gamma=
=PF_{1}(\ctg\alpha+\ctg\beta)+PD_{2}(\ctg\beta+\ctg\gamma)+PE_{3}(\ctg\gamma+\ctg\alpha)=
=PF_{1}(\ctg\alpha+\ctg\beta)+PD_{2}(\ctg\beta+\ctg\gamma)+PE_{3}(\ctg\gamma+\ctg\alpha)=
=PF_{1}\cdot\frac{c}{CF}+PD_{2}\cdot\frac{a}{AD}+PE_{3}\cdot\frac{b}{BE}=
=\frac{PF_{1}\cdot2R\sin\gamma}{CF}+\frac{PD_{2}\cdot2R\sin\alpha}{AD}+\frac{PE_{3}\cdot2R\sin\beta}{BE}=
=2R\left(\frac{PN}{CF}+\frac{PL}{AD}+\frac{PM}{BE}\right)=2R\left(\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle BPC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle CPA}}{S_{\triangle ABC}}\right)=
=2R\left(\frac{S_{\triangle APB}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BPC}}{S_{\triangle ABC}}\right)=2R\cdot\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=2R.
Что и требовалось доказать.