13769. Точки A
, B
, C
и D
лежат на одной прямой в указанном порядке. Найдите геометрическое место точек P
, для которых \angle APB=\angle CPD
.
Ответ. Если AB=CD
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
без середины этого отрезка; если AB\ne CD
— окружность без двух точек.
Решение. Пусть P
— точка, для которой \angle APB=\angle CPD
. Пусть прямые, проведённые через точки C
и D
параллельно AP
и BP
соответственно, пересекаются в точке Q
. Тогда
\angle CQD=\angle APB=\angle CPD,
поэтому точки P
, C
, D
и Q
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Случай 1. AB=CD
.
Тогда треугольники PAB
и QCD
равны, поэтому PB=QD
, и PBDQ
— параллелограмм. Значит, PQ\parallel BD
, т. е. PQ\parallel CD
. Поскольку точки P
, C
, D
и Q
лежат на одной окружности, CDQP
— равнобедренная трапеция (см. задачу 5003) поэтому
PC=QD=PB.
Точка P
равноудалена от концов отрезка BC
, следовательно, искомое геометрическое место точек P
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
(без середины этого отрезка).
Случай 2. AB\ne CD
.
Пусть O
— точка пересечения прямых PQ
и AD
. Треугольники PAB
и QCD
гомотетичны с центром O
и коэффициентом \frac{OP}{OQ}
, поэтому \frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}
. Следовательно, отношение \frac{OA}{OC}
постоянно, и точка O
фиксирована.
Точки P
, C
, D
и Q
лежат на одной окружности, поэтому
\angle QPD=\angle QCD=\angle PAB,
т. е. \angle OPD=\angle PAO
. Значит, треугольники OPD
и OAP
с общим углом при вершине O
подобны по двум углам. Тогда
\frac{OP}{OA}=\frac{OD}{OP}~\Rightarrow~OP^{2}=OA\cdot OD~\Rightarrow~OP=\sqrt{OA\cdot OD}.
Следовательно, искомое ГМТ — окружность с центром O
и радиусом \sqrt{OA\cdot OD}
(исключая точки её пересечения с данной прямой AB
).