14011. Ребро CD
тетраэдра ABCD
равно 2 и перпендикулярно плоскости ABC
. Грань ABC
— равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты AC
и BC
которого равны 4. Точки M
и N
— середины рёбер AC
и AB
соответственно. Найдите расстояние между прямыми DM
и CN
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Решение. Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
, и опустим на неё перпендикуляр ME
. Медиана CN
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой, поэтому CN\perp AB
, а так как CE\parallel AB
, то CN\perp CE
. Прямая CN
перпендикулярна плоскости CED
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым CE
и CD
этой плоскости. Значит, DE
— ортогональная проекция прямой DM
на плоскость DEC
, перпендикулярную прямой CN
. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми DM
и CN
равно расстоянию от точки C
до прямой DM
(см. задачу 8406), т. е. высоте CH
прямоугольного треугольника CDE
.
Пусть K
— точка пересечения ME
и AB
. Тогда MK
— средняя линия прямоугольного треугольника ACN
, а CNKE
— прямоугольник. Значит,
CE=NK=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Следовательно (см. задачу 1967),
d=CH=\frac{CD\cdot CE}{\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.