14014. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что AD=AA_{1}=2
, AB=4
. Найдите расстояние между прямыми DA_{1}
и CD_{1}
.
Ответ. \frac{4}{3}
.
Решение. Пусть K
и L
— центры граней AA_{1}D_{1}D
и BB_{1}C_{1}C
. Прямая DA_{1}
перпендикулярна прямым AD_{1}
(диагонали квадрата перпендикулярны) и AB
, поэтому прямая DA_{1}
перпендикулярна плоскости ABC_{1}D_{1}
. Прямая CB_{1}
, параллельная DA_{1}
, тоже перпендикулярна этой плоскости и проходит через центр L
квадрата BCC_{1}B_{1}
. Значит, L
— ортогональная проекция точки C
на плоскость ABC_{1}D_{1}
, а D_{1}L
— ортогональная проекция прямой CD_{1}
на эту плоскость. Следовательно, расстояние d
между прямыми DA_{1}
и CD_{1}
равно высоте KH
прямоугольного треугольника LKD_{1}
, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 8406).
Из прямоугольного треугольника LKD_{1}
получаем (см. задачу 1967)
d=KH=\frac{DK\cdot KL}{LD_{1}}=\frac{DK\cdot KL}{\sqrt{DK^{2}+DL^{2}}}=\frac{\sqrt{2}\cdot4}{\sqrt{2+16}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}.