14023. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите радиус сферы, проходящей через точки A
, B
И S
, если центр сферы лежит в плоскости CSD
.
Ответ. 25.
Решение. Пусть K
и L
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда
SL=SK=\sqrt{SA^{2}-AK^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Пусть Q
— центр окружности описанной около равнобедренного треугольника ASB
. Тогда центр O
сферы, о которой говорится в условии, лежит на прямой, проходящей через точку Q
перпендикулярно плоскости ASB
(см. задачу 9056). Плоскости ASB
и KSL
, пересекающиеся по прямой SK
, перпендикулярны, так как плоскость ASB
проходит через прямую AB
, перпендикулярную плоскости KSL
, поэтому прямая QO
лежит в плоскости KSL
(см. задачу 7713), а точка O
— на прямой LS
.
Пусть R
— искомый радиус сферы, а r
— радиус окружности, описанной около треугольника ASB
. Тогда по теореме синусов (см. задачу 23)
r=\frac{SB}{2\sin\angle BAS}=\frac{SB}{2\cdot\frac{SK}{SA}}=\frac{5}{2\cdot\frac{4}{5}}=\frac{25}{8}.
Из треугольника KSL
по теореме косинусов находим, что
\cos\angle KSL=\frac{SK^{2}+SL^{2}-KL^{2}}{2SK\cdot SL}=\frac{16+16-36}{2\cdot4\cdot4}=-\frac{1}{8},
поэтому точка O
лежит на продолжении отрезка LS
за точку S
. Тогда \cos\angle OSQ=\frac{1}{8}
. Следовательно,
R=OS=\frac{QS}{\cos\angle OSQ}=\frac{r}{\frac{1}{8}}=8r=8\cdot\frac{25}{8}=25.