14082. Три сферы попарно касаются внешним образом в точках A
, B
и C
, а также касаются плоскости \alpha
в точках D
, E
и F
. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника DEF
.
Решение. Пусть \Omega_{1}
и \Omega_{2}
— сферы с центрами O_{1}
и O_{2}
, касающиеся внешним образом в точке C
и касающиеся плоскости \alpha
в точках D
и E
соответственно. Через параллельные прямые O_{1}D
и O_{2}E
проведём плоскость \beta
. Поскольку эта плоскость проходит через прямую O_{1}A
, перпендикулярную плоскости \alpha
, плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны (см. задачу 7710).
Сечения сфер \Omega_{1}
и \Omega_{2}
плоскостью \beta
— окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
, радиусами, равными радиусам соответствующих сфер, касающиеся внешним образом в точке C
и касающиеся прямой пересечения плоскостей \alpha
и \beta
в точках D
и E
соответственно.
Пусть общая касательная окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
, проведённая через точку C
, пересекает прямую DE
в точке M
, а O
— центр окружности, описанной около треугольника DEF
, причём точки O
и M
различны. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что M
— середина DE
. Точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE
(см. задачу 1676), а так как плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны, то OM\perp DE
.
Прямоугольные треугольники CMO
и EMK
равны по двум катетам, поэтому OC=OE=R
, где R
— радиус описанной окружности треугольника DEF
. В случае, если точки O
и M
совпадают, также имеем OC=R
.
Таким образом, на сфере \Omega
с центром в точке O
и радиусом R
лежит точка C
. Аналогично, на этой сфере лежат точки A
и B
. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC
также лежит на сфере \Omega
, поэтому её радиус не превосходит R
. Наконец, точки A
, B
и C
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, поэтому точка O
не лежит в плоскости ABC
. Это означает, что верно строгое неравенство.