14126. На ребре BB_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
выбрана точка Q
так, что центр сферы, описанной около пирамиды QAA_{1}C_{1}C
, лежит в грани AA_{1}C_{1}C
. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды QABC
, равен 2, а ребро основания призмы равно \sqrt{3}
. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды QAA_{1}C_{1}C
к объёму призмы;
б) отрезок QB
;
в) площадь полной поверхности призмы.
Ответ. а) V_{QAA_{1}C_{1}C}{V}=2:3
, б) BQ=2\sqrt{3}
, в) V=\frac{81}{16}
.
Решение. Пусть K
— центр грани ABC
; L
— середина ребра AC
; P
— центр сферы, описанной около пирамиды QAA_{1}C_{1}C
(т. е. центр грани AA_{1}C_{1}C
); O
— центр сферы, описанной около пирамиды QABC
.
а) Сложив равенства
\frac{V_{QABC}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot QB}{S_{\triangle ABC}\cdot BB_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{QC}{BB_{1}},
\frac{V_{QA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot QB_{1}}{S_{\triangle ABC}\cdot BB_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{MC_{1}}{CC_{1}},
получим
\frac{V_{QABC}+V_{QA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{MC+MC_{1}}{BB_{1}}=\frac{1}{3}.
Значит, объём пирамиды QAA_{1}B_{1}B
составляет две трети объёма призмы.
б) Из равностороннего треугольника ABC
находим, что
BL=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2},~BK=\frac{2}{3}BL=1.
Точка P
— пересечение перпендикуляра к плоскости основания ABC
, восставленного из центра K
, и плоскости, проходящей через середину отрезка BQ
перпендикулярно BQ
(см. задачи 9056 и 8171). Рассмотрим прямоугольную трапецию BKOQ
. В ней известны стороны, BK=1
, OQ=2
и диагональ OB=OQ=2
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OBK
находим, что OK=\sqrt{3}
.
Опустим из точки O
перпендикуляр OH
на отрезок QB
. Тогда
QB=2HB=2OK=2\sqrt{3}.
в) Обозначим CC_{1}=h
. Тогда
PL=\frac{h}{2},~PC^{2}=PL^{2}+CL^{2}=\frac{h^{2}}{4}+\frac{3}{4}.
Из вершины Q
прямоугольной трапеции BPQL
опустим перпендикуляр PF
на BQ
. Тогда
PF=BL=\frac{3}{2},~QF=|QB-BF|=|QB-PL|=\left|2\sqrt{3}-\frac{h}{2}\right|,
QP^{2}=QF^{2}+PF^{2}=\left(2\sqrt{3}-\frac{h}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}.
Отрезки QP
и PC
равны как радиусы сферы, описанной около пирамиды QAA_{1}C_{1}C
. Из уравнения
\frac{h^{2}}{4}+\frac{3}{4}=\left(2\sqrt{3}-\frac{h}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}
находим, что h=\frac{9\sqrt{3}}{4}
. Тогда объём призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равен
S_{\triangle ABC}\cdot CC_{1}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{81}{16}.