14215. Тетраэдр
ABCD
с остроугольными гранями вписан в сферу с центром
O
. Прямая, проходящая через точку
O
перпендикулярно плоскости
ABC
, пересекает сферу в такой
E
, что
D
и
E
лежат по разные стороны относительно плоскости
ABC
. Прямая
DE
пересекает плоскость
ABC
в точке
F
, лежащей внутри треугольника
ABC
. Оказалось, что
\angle ADE=\angle BDE
,
AF\ne BF
и
\angle AFB=80^{\circ}
. Найдите угол
ACB
.
Ответ.
40^{\circ}
.
Решение. Точка
E
лежит на перпендикуляре к плоскости
ABC
, проходящем через центр описанной окружности треугольника
ABC
, поэтому она равноудалена от вершин треугольника
ABC
(см. задачу 9056), т. е.
AE=BE=CE
.
Рассмотрим треугольники
ADE
и
BDE
. Они имеют пару равных сторон
AE
и
BE
, общую сторону
DE
и равные по условию углы
ADE
и
BDE
. Значит (см. задачу 10280), эти треугольники либо равны, либо их углы
DAE
и
DBE
дополняют друг друга до
180^{\circ}
. Первый случай невозможен, так как тогда равны их стороны
AD
и
DB
, поэтому равны треугольники
ADF
и
BDF
(по трём сторонам), что противоречит условию
AF\ne BF
. Значит,
\angle DBE=180^{\circ}-\angle DAE.

Пусть продолжение отрезка
AF
за точку
F
пересекает описанную сферу данного тетраэдра в точке
X
. Луч
AF
лежит в плоскостях
ABC
и
AED
, а значит, точка
X
лежит на окружностях сечений сферы этими плоскостями, т. е. на описанных окружностях треугольников
ABC
и
AED
.
По построению точка
X
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
, значит, ортогональная проекция наклонной
EX
на плоскость
ABC
равна радиусу этой окружности, т. е. ортогональные проекции наклонных
EA
и
EX
, проведённые к плоскости из точки
D
, равны. Следовательно, равны и сами наклонные,
AE=XE
.
Сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые
DE
и
AX
,— вписанный четырёхугольник
AEXD
, в котором
\angle DXE=180^{\circ}-\angle DAE=\angle DBE,

а так как
AE=XE
, то
E
— середина не содержащей точки
D
дуги
AX
описанной окружности четырёхугольника
AEXD
, и значит
\angle ADE=\angle XDE
.
Используя доказанные ранее равенства углов, получаем, что треугольники
DBE
и
DXE
равны по общей стороне
DE
и двум прилежащим к ней углам.
Последовательно используя вписанность четырёхугольника
ABXC
, равнобедренность треугольника
BFX
и теорему о внешнем угле для треугольника
BFX
, получим
\angle ACB=\angle AXB=\frac{1}{2}(\angle FXB+\angle FBX)=\frac{1}{2}\angle AFB=\frac{1}{2}\cdot80^{\circ}=40^{\circ}.