14243. Основание ABC
пирамиды SABC
— равносторонний треугольник. Высота пирамиды проходит через точку A
и равна стороне основания. Найдите:
а) угол между медианами SL
и CK
граней ASB
и ASC
соответственно;
б) расстояние между прямыми SL
и CK
, если SA=AB=a
.
Ответ. а) \arccos\frac{3}{5}
; б) \frac{a\sqrt{3}}{8}
.
Решение. а) Пусть SA=AB=a
. Достроим треугольник CKS
до параллелограмма CKSP
. Поскольку SP\parallel CK
, между скрещивающимися прямыми SL
и CK
равен углу между пересекающимися прямыми SL
и SP
, т. е. углу LSP
.
Из прямоугольных треугольников ASC
и LCP
находим, что
SL=\sqrt{SA^{2}+AL^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
LP=\sqrt{CL^{2}+CP^{2}}=\sqrt{CL^{2}+AK^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a.
Тогда
SP=CK=SL=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle LSP=\frac{SL^{2}+SP^{2}-LP^{2}}{2SL\cdot SP}=\frac{\frac{5}{4}a^{2}+\frac{5}{4}a^{2}-a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{3}{5}.
Следовательно, угол между прямыми SL
и CK
равен \arccos\frac{3}{5}=\arcsin\frac{4}{5}
.
б)
Первый способ. Пусть N
— середина отрезка AL
. Тогда KN
— средняя линия треугольника ASL
, поэтому KN\parallel SL
, а плоскость CKN
параллельна прямой CK
. Значит (см. задачу 7889), расстояние между скрещивающимися прямыми SL
и CK
равно расстоянию от произвольной точки прямой SL
, например, от точки L
, до плоскости CKN
. Поскольку N
— середина AL
, это расстояние равно расстоянию до этой плоскости от точка A
(см. задачу 9180).
Опустим перпендикуляр AQ
на прямую CL
. По теореме о трёх перпендикулярах KQ\perp CN
, поэтому прямая CN
перпендикулярна плоскости AKQ
. Пусть AH
— высота прямоугольного треугольника AKQ
. Тогда AK
перпендикуляр к плоскости CKN
, значит, расстояние между прямыми SL
и CK
равно длине отрезка AH
.
Из прямоугольного треугольника CLN
находим, что
CN=\sqrt{CL^{2}+LN^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.
Прямоугольные треугольники ANQ
и CLN
подобны, поэтому \frac{AQ}{AN}=\frac{CL}{CN}
, откуда
AQ=\frac{CL\cdot AN}{CN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a}{4}}{\frac{a\sqrt{13}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.
Тогда
KQ=\sqrt{AK^{2}+AQ^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4\cdot13}}=\frac{2a}{\sqrt{13}}.
Следовательно (см. задачу 1967),
AH=\frac{AK\cdot AQ}{KQ}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}}{\frac{2a}{\sqrt{13}}}=\frac{a\sqrt{3}}{8}.
Второй способ. Вычислим двумя способами объём тетраэдра SCKL
.
С одной стороны,
V_{SCKL}=\frac{1}{2}V_{SKCL}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}V_{SABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SA=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}.
С другой стороны (см. задачу 7234), если угол и расстояние между прямыми SL
и CK
равны соответственно \varphi
и d
, то
V_{SCKL}=\frac{1}{6}SK\cdot CL\cdot d\sin\varphi=\frac{1}{6}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot d\cdot\frac{4}{5}=\frac{1}{6}d.
Из равенства \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}=\frac{1}{6}d
находим, что d=\frac{a\sqrt{3}}{8}
.
Третий способ. В первом способе установлено, что расстояние между скрещивающимися прямыми SL
и CK
равно расстоянию от точки A
до плоскости CKN
.
Пусть M
— середина ребра BC
. Введём прямоугольную систему координат Axyz
с началом в точке A
, направив ось Ax
по лучу, сонаправленному с лучом CB
, ось Ay
— по лучу AM
, ось Az
— по лучу AS
.
Пусть продолжение отрезка CN
пересекает оси Ay
и Ax
в точках P
и F
соответственно. Из подобия треугольников ANF
и BNC
получаем, что
AF=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}.
Из подобия треугольников APF
и MPC
получаем, что
\frac{AP}{PM}=\frac{AF}{CM}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{1}{2}a}=\frac{2}{3},
значит,
AP=\frac{2}{5}AM=\frac{2}{5}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{5}.
Тогда уравнение плоскости CKN
имеет вид
\frac{x}{\frac{a}{3}}+\frac{y}{\frac{a\sqrt{3}}{5}}+\frac{z}{\frac{a}{2}}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), или
3\sqrt{3}x+5y+2\sqrt{3}z-a\sqrt{3}=0.
По формуле расстояния от точки до плоскости (см. задачу 7563) находим, что
d=\frac{|3\sqrt3\cdot0+4\cdot0+2\sqrt{3}\cdot0-a\sqrt{3}|}{\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+5^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{27+25+12}}=\frac{a\sqrt{3}}{8}.