14307. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— высоты тетраэдра, r
— радиус вписанной сферы. Докажите, что
h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\geqslant16r.
Решение. Воспользуемся равенством
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{r}
(см. задачу 7129) и неравенством
(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4})\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\right)\geqslant4^{2},
которое легко выводится из неравенства Коши. Действительно, перемножив неравенства
h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\geqslant4\sqrt[{4}]{{h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}}}~\mbox{и}~\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\geqslant4\sqrt[{4}]{{\frac{1}{h_{1}}\cdot\frac{1}{h_{2}}\cdot\frac{1}{h_{3}}\cdot\frac{1}{h_{4}}}},
получим требуемое.
Таким образом
(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4})\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\right)=(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4})\cdot\frac{1}{r}\geqslant16.
Следовательно,
~h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\geqslant16r,
причём равенство достигается, если h_{1}=h_{2}=h_{3}=h_{4}
, т. е. для равногранного тетраэдра (см. задачу 7282).