7129. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— высоты тетраэдра, m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, m_{4}
— его медианы, Q
— сумма квадратов всех рёбер, r
— радиус вписанной сферы. Докажите, что:
\mbox{а)}~\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{r};~~\mbox{б)}~m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}=\frac{4}{9}Q.
Указание. а) Объём тетраэдра равен одной третьей произведения полной поверхности на радиус вписанной сферы.
б) Если DM
— медиана тетраэдра ABCD
, то
DM^{2}=\frac{1}{3}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2})-\frac{1}{9}(AB^{2}+BC^{2}+AC^{2})
(см. задачу 7259).
Решение. а) Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
, S_{4}
— площади граней тетраэдра, на которые опущены высоты h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
соответственно; V
— объём тетраэдра. Тогда V=\frac{1}{3}S_{1}h_{1}
, откуда \frac{1}{h_{1}}=\frac{S_{1}}{3V}
. Аналогично
\frac{1}{h_{2}}=\frac{S_{2}}{3V},~\frac{1}{h_{3}}=\frac{S_{3}}{3V},~\frac{1}{h_{4}}=\frac{S_{4}}{3V}.
В то же время, V=\frac{1}{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})r
(см. задачу 7185), откуда \frac{1}{r}=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{3V}
. Следовательно,
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=
=\frac{S_{1}}{3V}+\frac{S_{2}}{3V}+\frac{S_{3}}{3V}+\frac{S_{4}}{3V}=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{3V}=\frac{1}{r}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть ABCD
— тетраэдр с рёбрами DA=a
, DB=b
, DC=c
, AB=d
, BC=e
, AC=f
; M
— точка пересечения медиан грани ABC
, а m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, m_{4}
— медианы тетраэдра, проведённые из вершин D
, A
, B
, C
— соответственно. Тогда (см. задачу 7259)
m_{1}^{2}=DM^{2}=\frac{1}{3}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2})-\frac{1}{9}(AB^{2}+BC^{2}+AC^{2})=
=\frac{1}{9}(3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}-d^{2}-e^{2}-f^{2}).
Аналогично
m_{2}^{2}=\frac{1}{9}(3a^{2}+3d^{2}+3f^{2}-b^{2}-c^{2}-e^{2}),
m_{3}^{2}=\frac{1}{9}(3b^{2}+3d^{2}+3e^{2}-a^{2}-c^{2}-f^{2}),
m_{4}^{2}=\frac{1}{9}(3c^{2}+3e^{2}+3f^{2}-a^{2}-b^{2}-e^{2}).
Следовательно,
m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}=
=\frac{1}{9}(3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}-d^{2}-e^{2}-f^{2}+
+3a^{2}+3d^{2}+3f^{2}-b^{2}-c^{2}-e^{2}+
+3b^{2}+3d^{2}+3e^{2}-a^{2}-c^{2}-f^{2}+
+3c^{2}+3e^{2}+3f^{2}-a^{2}-b^{2}-e^{2})=
=\frac{1}{9}(4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+4d^{2}+4e^{2}+4f^{2})=
=\frac{4}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2})=\frac{4}{9}Q.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Из пункта б) и задачи 7110 следует, что сумма квадратов расстояний от точки пересечения медиан тетраэдра до его вершин равна \frac{1}{4}Q^{2}
.