14345. В основании пирамиды SABCD
лежит трапеция ABCD
с большим основанием AD
. Диагонали трапеции пересекаются в точке O
. Точки M
и N
— середины боковых сторон AB
и CD
соответственно. Плоскость \alpha
проходит через точки M
и N
параллельно прямой SO
.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD
плоскостью \alpha
— трапеция.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD
плоскостью \alpha
, если AD=10
, BC=8
, SO=8
, а прямая SO
перпендикулярна прямой AD
.
Ответ. 36.
Решение. а) Пусть плоскость \alpha
пересекает прямые SA
, SD
, BD
и AC
в точках P
, Q
, K
и L
соответственно. Отрезок MN
— средняя линия трапеции ABCD
, поэтому он параллелен её основанию AD
. Значит, плоскость \alpha
параллельна прямой AD
(см. задачу 8002) и пересекает плоскость SAD
по прямой, параллельной MN
(см. задачу 8003).
Плоскость \alpha
, параллельная прямой SO
, пересекает ребро SA
в точке P
, а ребро SD
в точке Q
. Значит, сечение пирамиды SABCD
плоскостью \alpha
— четырёхугольник MPQN
, у которого стороны MN
и PQ
параллельны.
Прямые KQ
и PL
параллельны прямой SO
, поскольку являются прямыми пересечений плоскости \alpha
с плоскостями BSD
и ASC
, содержащими прямую SO
, параллельную плоскости \alpha
(см. задачу 8003). Значит, четырёхугольник PQKL
— параллелограмм, а значит (см. задачу 1226),
PQ=KL=\frac{AD-BC}{2}\lt\frac{AD+BC}{2}=MN
(точки K
и L
— середины диагоналей BD
и AC
соответственно). Таким образом, две противоположные стороны четырёхугольника MPNQ
параллельны, а две другие — нет. Следовательно, четырёхугольник MPQN
— трапеция.
б) Прямая SO
перпендикулярна прямой AD
, прямые PL
и SO
параллельны, прямые MN
и AD
параллельны, значит, отрезок PL
перпендикулярен отрезку MN
и является высотой трапеции MPQN
. В трапеции ABCD
известно, что
\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4},~AO=\frac{5}{9}AC,
AL=\frac{1}{2}AC,~\frac{AL}{AO}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{5}{9}AC}=\frac{9}{10}.
Рассмотрим плоскость ASC
. Поскольку прямые SO
и PL
параллельны,
\frac{PL}{PO}=\frac{AL}{AO}=\frac{9}{10},~PL=\frac{9}{10}SO=\frac{9}{10}\cdot8=\frac{36}{5}.
Следовательно,
S_{MPQN}=\frac{1}{2}(MN+PQ)\cdot PL=\frac{1}{2}\left(\frac{AD+BC}{2}+\frac{AD-BC}{2}\right)\cdot PL=
=\frac{1}{2}AD\cdot PL=\frac{10}{2}\cdot\frac{36}{5}=36.