14427. Основание пирамиды — ромб со стороной a
и острым углом \alpha
. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом \varphi
. Найдите объём и боковую поверхность пирамиды.
Ответ. \frac{1}{3}a^{3}\sin^{2}\alpha\tg\varphi
, \frac{2a^{2}\sin\alpha\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\varphi}
.
Решение. Заметим, что перпендикулярными основанию могут быть только две соседние боковые грани пирамиды.
Пусть плоскости грани ASB
и ASD
перпендикулярны плоскости основания ABCD
данной пирамиды SABCD
. Тогда прямая SA
их пересечения перпендикулярна плоскости основания (см. задачу 9104), а ребро SA
— высота данной пирамиды.
Предположим, что острый угол ромба ABCD
— это угол при его вершине B
. Опустим перпендикуляр AH
на сторону BC
. По теореме о трёх перпендикулярах SH\perp BC
, поэтому AHS
— линейный угол двугранного угла при ребре BC
пирамиды. По условию \angle AHS=\varphi
. Тогда
AH=AB\sin\angle ABC=a\sin\alpha,~SA=AH\tg\angle AHS=a\sin\alpha\tg\varphi,
SH=\frac{AH}{\cos\angle AHS}=\frac{a\sin\alpha}{\cos\varphi}.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}AB\cdot BC\sin\angle ABC\cdot SA=
=\frac{1}{3}a^{2}\sin\alpha\cdot a\sin\alpha\tg\varphi=\frac{1}{3}a^{3}\sin^{2}\alpha\tg\varphi.
Пусть S
— площадь боковой поверхности данной пирамиды. Тогда
S=2(S_{\triangle ASB}+S_{\triangle BSC})=2\left(\frac{1}{2}AB\cdot SA+\frac{1}{2}BC\cdot SH\right)=
=AB\cdot SA+BC\cdot SH=a\cdot a\sin\alpha\tg\varphi+a\cdot\frac{a\sin\alpha}{\cos\varphi}=
=\frac{a^{2}\sin\alpha(1+\sin\varphi)}{\cos\varphi}=\frac{a^{2}\sin\alpha(1+\cos(90^{\circ}-\varphi)}{\cos\varphi}=\frac{2a^{2}\sin\alpha\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\varphi}.
Тот же результат для случая, когда острый угол ромба — этого угол при его вершине A
.