14662. Одна грань пятигранника — квадрат со стороной a
, две другие — равносторонние треугольники, примыкающие к противоположным сторонам этого квадрата, а остальные две грани — равнобедренные трапеции, одна из сторон которых равна 2a
. Найдите объём пятигранника.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD
с ребром 2a
и его сечение плоскостью, проходящей через середины K
, L
, M
и N
рёбер AB
, BC
, CA
и AD
соответственно. Тогда KLMN
— квадрат со стороной a
, AKL
и DMN
— равносторонние треугольники со стороной a
, а AKND
и ALMD
— равнобедренные трапеции с общим основанием AD=2a
. Значит, KLMNDA
— пятигранник, о котором говорится в условии задачи.
Первый способ. Аналогично для пятигранника KLMNBC
. Объём каждого из этих пятигранников равен половине объёма тетраэдра ABCD
, т. е.
V_{KLMNDA}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4a^{2}\sqrt{3}}{12}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}
(см. задачу 8461).
Второй способ. Поскольку пятигранник — клин, его объём равен среднему арифметическому его боковых рёбер AD
, KN
и LM
, умноженному на площадь S
перпендикулярного сечения MHN
(см. задачу 14318).
По свойству равнобедренной трапеции (см. задачу 1921)
NH=MH=\frac{1}{2}(AD+MK)=\frac{1}{2}(2a-a)=\frac{a}{2}.
Из прямоугольного треугольника DMH
находим, что
HN=HM=\frac{a\sqrt{3}}{2},
а так как треугольник MHN
равнобедренный, то
S=S_{\triangle MHN}=\frac{1}{2}MN\cdot\sqrt{HM^{2}-\left(\frac{1}{2}MN\right)^{2}}=\frac{1}{2}a\cdot\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
V_{KLMNDA}=\frac{1}{3}(a+a+2a)S=\frac{4}{3}a\cdot\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}.