14663. Докажите, что середины всех рёбер тетраэдра лежат на одной сфере тогда и только тогда, когда тетраэдр ортоцентрический.
Решение. Достаточность. Пусть тетраэдр ортоцентрический. Тогда все рёбра его описанного параллелепипеда равны (см. задачу 7994), а так как бимедиана тетраэдра равна ребру параллелепипеда, то все три бимедианы тетраэдра равны.
Бимедианы любого тетраэдра пересекаются в точке G
пересечения его медиан и делятся ею пополам (см. задачу 7103), а так как в нашем случае они ещё и равны, то середины всех рёбер тетраэдра равноудалены от точки G
. Следовательно, они лежат на сфере с центром G
.
Необходимость. Пусть середины всех рёбер тетраэдра лежат на одной сфере, а G
— точка пересечения медиан тетраэдра. Тогда G
— середина каждой его бимедианы, например, бимедианы MN
. Значит, GM\cdot GN=GM^{2}=GN^{2}
. Аналогично, для медианы PQ
верно равенство GP\cdot GQ=GP^{2}=GQ^{2}
, а так как точки M
, N
, P
и Q
лежат на одной сфере, то GM\cdot GN=GP\cdot GQ
, поэтому GM=GN=GP=GQ
. Следовательно, MN=PQ
. Аналогично для третьей бимедианы. Таким образом все, три бимедианы тетраэдра равны, значит, равны все рёбра его описанного параллелепипеда, и тогда тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 7994). Что и требовалось доказать. (См. также задачу 9766.)