9766. В тетраэдре середины всех рёбер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть дан тетраэдр ABCD
, а P
, Q
, R
, S
— середины рёбер BD
, AD
, AC
и BC
соответственно. Тогда прямые RS
и PQ
параллельны AB
как средние линии треугольников ABC
и ABD
, а прямые PS
и QR
параллельны DC
как средние линии треугольников BDC
и ADC
. Значит, PQRS
— параллелограмм. Все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е. PQRS
— прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые AB
и CD
перпендикулярны. Аналогично BD\perp AC
и BC\perp AD
.
Перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, т. е. тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 7807).