14675. Точка O
— центр описанной сферы тетраэдра ABCD
, точки L
, M
и N
— середины рёбер BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите, что если
AB+BC=AD+CD,~BC+CA=BD+AD~\mbox{и}~CA+AB=CD+BD,
то \angle LOM=\angle MON=\angle NOL
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a'
, DB=b'
и DC'=c
. Из суммы первого и второго равенств системы
\syst{a+c=a'+c'\\a+b=a'+b'\\b+c=a'+c'\\}
вычтем третье. После деления на 2 получим a=a'
. Аналогично, b=b'
и c=c'
. Значит, тетраэдр ABCD
равногранный (см. задачу 7266).
Точка пересечения медиан любого тетраэдра совпадает с точкой пересечения его бимедиан (см. задачу 7108), а так как точка пересечения медиан равногранного тетраэдра совпадает с центром O
его описанной сферы (см. задачу 7283), то в нашем случае бимедианы пересекаются в точке O
.
Кроме того медианы равногранного тетраэдра попарно перпендикулярны (см. задачу 7281). Следовательно,
\angle LOM=\angle MON=\angle NOL.
Что и требовалось доказать.