16020. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и расстоянию между центрами описанной и вписанной окружностей.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: AB=a
— данная его сторона, \angle ACB=\gamma
, расстояние между центром O
описанной окружности и центром I
вписанной окружности равно данной величине d
. Тогда точка C
лежит на дуге окружности с центром O
, вмещающей угол \gamma
.
Пусть F
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
. Тогда CF
— биссектриса угла ACB
, поэтому FB=FI
(см. задачу 788). При этом расстояние OI
равно данному отрезку d
.
Отсюда вытекает следующее построение. На данном отрезке AB
как на хорде строим дугу, вмещающую данный угол \gamma
. Достраиваем её до окружности, строим её центр O
и проводим диаметр FD
, перпендикулярный AB
. Пусть точка F
лежит на дуге, дополнительной к построенной ранее. Проводим окружность с центром O
радиусом d
и окружность с центром F
радиусом FB
. Через точку F
и точку пересечения этих окружностей проводим прямую. Отличная от F
точка пересечения этой прямой и окружности с диаметром FD
есть вершина C
искомого треугольника ABC
.
Доказательство. Точка C
лежит на дуге, вмещающий данный угол \gamma
, поэтому \angle ABC=\gamma
. Точка F
— середина дуги AB
описанной окружности треугольника ABC
, причём FI=FB
, значит, I
— центр вписанной окружности этого треугольника, а OI=d
по построению.
Задача имеет столько решений, сколько точек пересечения у окружностей с центрами O
и F
радиусов d
и FB
соответственно, т. е. одно, два или ни одного.