16034. Четырёхугольник ABCD
и треугольник EFG
вписаны в окружность \Gamma
. Пусть для произвольной точки X
, лежащей на этой окружности, s(X)
означает сумму расстояний от от точек A
, B
, C
и D
до касательной к \Gamma
, проведённой в точке X
. Докажите, что если s(E)=s(F)=s(G)
, то ABCD
— прямоугольник.
Решение. Пусть M_{1}
и M_{2}
середины диагоналей соответственно AC
и BC
четырёхугольника ABCD
, а P
— середина отрезка M_{1}M_{2}
. Обозначим через d_{l}(X)
расстояние от точки X
до касательной к окружности, проведённой в точке X
. Тогда, если l
— касательная, проведённая к окружности \Gamma
в точке E
, то (см. задачу 1939)
d_{l}(M_{1})=\frac{d_{l}(A)+d_{l}(C)}{2},~d_{l}(M_{2})=\frac{d_{l}(B)+d_{l}(D)}{2},
поэтому
d_{l}(P)=\frac{d_{l}(M_{1})+d_{l}(M_{2})}{2}=\frac{d_{l}(A)+d_{l}(B)+d_{l}(C)+d_{l}(D)}{2}=\frac{1}{4}s_{E}
Аналогично, для касательных, проведённых в точках F
и G
, а так как по условию s(E)=s(F)=s(G)
, то точка P
равноудалена от всех трёх касательных, и поэтому P
— центр окружности \Gamma
.
Предположим, что диагональ AC
не проходит через точку P
. Тогда диагональ BD
тоже не проходит через P
, так как иначе AC\perp PM_{1}
и BD\perp PM_{2}
(см. задачу 1677), и поэтому AC\parallel BD
, что невозможно. Значит, диагонали AC
и BD
проходят через точку P
, т. е. AC
и BD
— диаметры окружности \Gamma
. Следовательно, ABCD
— прямоугольник. Что и требовалось доказать.